Question

7．记min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，若x，y为任意正实数，则M=min{2x，$\frac{1}{y}$，y+$\frac{1}{x}$}的最大值为（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设a=2x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$，都大0，不妨设a≤b，可得$\frac{2-{b}^{2}}{b}$≤c-a≤$\frac{3-{a}^{2}}{a}$，对a与$\sqrt{3}$的大小分类讨论即可得出

解答 解：设a=2x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$，都大0，
不妨设a≤b，则$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{b}$，
则$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{b}$-b≤c-a=$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$-a，
∴$\frac{3-{b}^{2}}{b}$≤c-a≤$\frac{3-{a}^{2}}{a}$，
当a≥$\sqrt{3}$时，c≤a，此时c最小，
当0＜a＜$\sqrt{3}$，c-a≥0，此时a最小，M≤$\sqrt{3}$，
综上可得，M的最大值为$\sqrt{3}$，
故选：D

点评 本题考查了不等式的性质，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题