Question

在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和是4，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程
（2）设A，B是曲线C上两个不同的点，且OA⊥OB，证明：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已恬得动点M的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（2）设AB所在的直线方程为：y=kx+m，代入椭圆方程 3x²+4y²=12，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能证明

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值．

解答： （1）解：∵在平面直角坐标系xOy中，
动点M到定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和是4，
∴动点M的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，
且2a=4，c=1，解得a=2，b=

3

，
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：设A点坐标为（x₁，y₁），B坐标为（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
设AB所在的直线方程为：y=kx+m，代入椭圆方程 3x²+4y²=12
整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
因为点A、B在椭圆上
由韦达定理可得：
x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
由x₁x₂+y₁y₂=0，得
x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
即（k²+1）•

4m2-12

4k2+3

-

8k2m2

4k2+3

+m²=0
化简得：7m²=12（1+k²）

m2

1+k2

=

12

7

，

|m|

1+k2

=

2 3

7

点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

2 3

7

为定值，
直角△AOB中，OA²+OB²=AB²，S_△AOB=

1

2

（OA×OB）=

1

2

（AB×d），
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2•|OB|2

=

|AB|2

(|AB|×d)2

=

1

d2

=

7

12

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查

1

|OA|2

+

1

|OB|2

为定值的证明，解题时要认真审题，注意椭圆定义、韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．