Question

已知圆C的方程为：x²+y²+4y-21=0，直线l的方程为：（2m-1）x-（m+1）y+3m=0，（m∈R）．
（1）若圆C上恰有3个点到直线l的距离为3，求直线l的方程：
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值及最短弦长．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）若圆C上恰有3个点到直线l的距离为3，则等价为圆心到直线的距离d=2，根据圆心到直线的距离公式进行求解．
（2）直线l过定点，根据定点和圆的关系，结合弦长公式即可即可得到结论．

解答： 解：（1）圆的标准方程为x²+（y+2）²=25，则圆心C坐标为（0，-2），半径R=5，
若圆C上恰有3个点到直线l的距离为3，
则等价为圆心到直线的距离d=5-3=2，
即

|2(m+1)+3m|

(2m-1)2+(m+1)2

=2，
平方整理得5m²+14m-3=0，
解得m=-3或m=

1

5

，
即直线方程为7x-2y+9=0或x+2y-1=0．
（2）由（2m-1）x-（m+1）y+3m=0得m（2x-y+3）-x-y=0，
由

2x-y+3=0 -x-y=0

得

x=-1 y=1

，即直线过定点A（-1，1），
|CA|=

1+9

=

10

＜5，
即A在圆内，
则l与圆C永远相交，
若直线l被圆C截得的弦长最短时，满足CA⊥l，
∵CA的斜率k=

-2-1

1

=-3，
∴l的斜率k=

1

3

，即

2m-1

m+1

=

1

3

，解得m=

4

5

，
此时最短弦长为2

R2-|CA|2

=2

25-10

=2

15

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线过定点，求出定点坐标是解决本题的关键．要求熟练掌握圆心到直线的距离公式以及直线和圆相交的弦长公式．