题目内容

3．设正数a，b，c满足a+b+c≤3，求证：$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$+$\frac{1}{c+1}$≥$\frac{3}{2}$．

分析 由于正数a，b，c满足a+b+c≤3，由柯西不等式，结合不等式的性质即可得证．

解答 证明：由于正数a，b，c满足a+b+c≤3，
由柯西不等式得，
$[{（a+1）+（b+1）+（c+1）}]•（{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}）$
$≥{（{\sqrt{a+1}•\frac{1}{{\sqrt{a+1}}}+\sqrt{b+1}•\frac{1}{{\sqrt{b+1}}}+\sqrt{c+1}•\frac{1}{{\sqrt{c+1}}}}）^2}$=32，
所以$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}≥\frac{9}{a+b+c+3}≥\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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