Question

18．已知a、b、c都是正数，求证：
（I）$\frac{{b}^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$≥a十b+c；
（2）2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$≤3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）

Answer 1

分析 （1）由a+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{{b}^{2}}{a}}$=2b，b+$\frac{{c}^{2}}{b}$≥2c，c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2a，累加即可得证；
（2）运用作差法，结合三元均值不等式，即可得证．

解答 证明：（1）由a，b，c＞0，可得a+$\frac{{b}^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{{b}^{2}}{a}}$=2b，
b+$\frac{{c}^{2}}{b}$≥2c，c+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥2a，
相加可得（a+b+c）+（$\frac{{b}^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$）≥2（a+b+c），
即为$\frac{{b}^{2}}{a}$$+\frac{{c}^{2}}{b}$$+\frac{{a}^{2}}{c}$≥a+b+c（当且仅当a=b=c取得等号）；
（2）3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）-2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）
=c+2$\sqrt{ab}$-3$\root{3}{abc}$=c+$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ab}$-3$\root{3}{abc}$
≥3$\root{3}{abc}$-3$\root{3}{abc}$=0，
可得2（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）≤3（$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$）（当且仅当a=b=c取得等号）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，考查累加法和作差法的运用，以及推理运算能力，属于中档题．