Question

12．某大学为了在2016年全国大学生成语听写大赛中取得优秀成绩，组织了100个人参加的成语听写大赛集训队集训，集训时间为期一个月．集训结束时，为了检查集训的效果，从这100个队员中随机抽取9名队员参加成语听写抽测，抽测的成绩设有A、B、C三个等级，分别对应5分，4分，3分，抽测的结果恰好各有3名队员进入三个级别．现从这9名队员中随机抽取n名队员（假设各人被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9），再将抽取的队员的成绩求和．
（Ⅰ）当n=3时，记事件A={抽取的3人中恰有2人级别相同}，求P（A）；
（Ⅱ）当n=2时，若用ξ表示n个人的成绩和，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等可能事件概率计算公式能求出事件A={抽取的3人中恰有2人级别相同}的概率．
（2）由题意得ξ的可取值为6、7、8、9、10，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）从这100个队员中随机抽取9名队员员参加成语听写抽测，
抽测的成绩设有A、B、C三个等级，分别对应5分，4分，3分，抽测的结果恰好各有3名队员进入三个级别．
现从这9名队员中随机抽取3名队员，事件A={抽取的3人中恰有2人级别相同}，
则$P（A）=\frac{C_3^1C_3^2C_6^1}{C_9^3}=\frac{9}{14}$…（4分）
（2）由题意得ξ的可取值为6、7、8、9、10，…（6分）
$P（ξ=6）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}$，
$P（ξ=7）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，
$P（ξ=8）=\frac{C_3^2+c_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=9）=\frac{c_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，
$P（ξ=10）=\frac{C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{12}$，
ξ分布列如下：

ξ	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

…（10分）       
Eξ=$6×\frac{1}{12}+7×\frac{1}{4}+8×\frac{1}{3}+9×\frac{1}{4}+10×\frac{1}{12}$=8…．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．