Question

12．如果三棱锥A-BCD的底面BCD是正三角形，顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，则这样的三棱锥称为正三棱锥．给出下列结论：
①正三棱锥A-BCD中必有AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BD；
②正三棱锥A-BCD所有相对棱中点连线必交于一点；
③当正三棱锥A-BCD所有棱长都相等时，该棱锥内切球和外接球半径之比为1：2；
④若正三棱锥A-BCD的侧棱长均为2，侧面三角形的顶角为40°，过点B的平面分别交侧棱AC，AD于M，N，则△BMN周长的最小值等于$2\sqrt{3}$．
以上结论正确的是①②④．（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 根据正三棱锥的定义，对每个命题进行判断，即可得出结论．

解答 解：①正三棱锥A-BCD中，正三棱锥顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，必有AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BD，正确；
②利用平行四边形的性质，可得正三棱锥A-BCD所有相对棱中点连线必交于一点，正确；
③当正三棱锥A-BCD所有棱长都相等时，该棱锥内切球和外接球半径之比为1：3，不正确；
④若正三棱锥A-BCD的侧棱长均为2，一个侧面的顶角为40°，过点B的平面分别交侧棱AC，AD于M，N．则△BMN周长的最小值等于$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，故正确．
故答案为①②④．

点评 本题综合考查空间线面关系，类比、转化思想，属于中档题．