Question

20．对于给定数列{x_n}，若存在一个常数k∈N^*，对于任意的n∈N^*，使得x_n+k=x_n成立，则称数列{x_n}是周期数列，k是数列{x_n}的一个周期，若k是数列{x_n}的周期，且1，2，…，k-1均不是数列{x_n}的周期，则称k为数列{x_n}的最小周期．已知数列{a_n}的最小周期为4，前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}通项公式a_n和前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据已知中4S_n=（a_n+1）²．令n=1可得a₁的值；
（2）根据已知中4S_n=（a_n+1）²．结合数列的周期性，可得数列{a_n}通项公式a_n和前n项和S_n；
（3）根据（2）求出数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n的表达式，进而可得T_n的取得最大值和最小值时n的值．

解答 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴当n=1时，4S₁=4a₁=（a₁+1）²．
解得：a₁=1；
（2）当n=2时，4S₂=4（1+a₂）=（a₂+1）²．
解得：a₂=3，或a₂=-1；
（1）①若a₁=1，a₂=3，当n=3时，4S₃=4（4+a₃）=（a₃+1）²．
解得：a₃=5，或a₃=-3；
②若a₁=1，a₂=-1，当n=3时，4S₃=4a₃=（a₃+1）²．
解得：a₃=1，
（2）①若a₁=1，a₂=3，a₃=5，当n=4时，4S₄=4（9+a₄）=（a₄+1）²．
解得：a₄=7，或a₄=-5；
②若a₁=1，a₂=3，a₃=-3，当n=4时，4S₄=4（1+a₄）=（a₄+1）²．
解得：a₄=3，或a₄=-1；
③若a₁=1，a₂=-1，a₃=1，当n=4时，4S₄=4（1+a₄）=（a₄+1）²．
解得：a₄=3，或a₄=-1（此时T=2，不满足题意，故舍去）；
（3）①若a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，当n=5时，4S₅=4（16+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=9（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去），或a₅=-7（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去）；
②若a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=-5，当n=5时，4S₅=4（4+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=5（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去），或a₅=-3（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去）；
③若a₁=1，a₂=3，a₃=-3，a₄=3，当n=5时，4S₅=4（4+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=5（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去），或a₅=-3（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去）；
④若a₁=1，a₂=3，a₃=-3，a₄=-1，当n=5时，4S₅=4a₅=（a₅+1）²．
解得：a₅=1；
⑤若a₁=1，a₂=-1，a₃=1，a₄=3，当n=5时，4S₅=4（4+a₅）=（a₅+1）²．
解得：a₅=5（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去），或a₅=-3（这与周期T=4矛盾，不满足题意，故舍去）；
综上可得：a₁=1，a₂=3，a₃=-3，a₄=-1，结合数列的周期性可得：
a_n=$\left\{\begin{array}{l}1，n=4k-3\\ 3，n=4k-2\\-3，n=4k-1\\-1，n=4k\end{array}\right.，（k{{∈N}_{+}）}^{\;}$，

S_n=$\left\{\begin{array}{l}1，n=4k-3\\ 4，n=4k-2\\ 1，n=4k-1\\ 0，n=4k\end{array}\right.，{（k{∈N}_{+}）}^{\;}$，

点评 本题考查的知识点是数列求和，数列的递推式，难度较大，属于难题．