Question

11．不等式$\frac{ax+1}{x+b}$＞1的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），则不等式x²+ax-2b＜0的解集为（　　）

• A． （-3，-2）
• B． $（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$
• C． （-∞，-3）∪（-2，+∞）
• D． $（-∞，-\frac{1}{2}）∪（-\frac{1}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 利用方程的根与不等式的关系，求出a，b的值，带入不等式x²+ax-2b＜0，即可求解．

解答 解：由题意：不等式$\frac{ax+1}{x+b}$＞1转化为[x（a-1）-b+1]（x+b）＞0的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），可知a＞1
由方程（ax-x-b+1）（x+b）=0可知其解：x₁=-1，x₂=3，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-a+1-b+1=0}\\{3+b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a-3-b+1=0}\\{-1+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∵a＞1，
∴a=5，b=-3，
那么：不等式x²+ax-2b＜0转化为：x²+5x+6＜0，
解得：-3＜x＜-2，
所以不等式x²+ax-2b＜0的解集为{x|-3＜x＜-2}．
故选：A．

点评 本题考查了方程的根与不等式的关系．属于基础题．