Question

已知1≤x²＋y²≤2，求证：≤x²－xy＋y²≤3.

 

Answer 1

答案：
解析：

选题意图：本题考查换元法(等价转化为熟悉函数)在不等式证明中的应用. 证明：设x＝ｒcosθ，y＝ｒsinθ(1≤ｒ≤，0≤θ＜2π ∴x2－xy＋y2＝ｒ2cos2θ－ｒcosθ·ｒsinθ＋ｒ2sin2θ ＝ｒ2(1－). ∵≤1－sin2θ≤，1≤ｒ2≤2 ∴≤ｒ2(1－sin2θ)≤3， 即：≤x2－xy＋y2≤3. < 说明：①三角函数是熟悉函数，它有很多重要性质.②换元时注意要等价，如1≤ｒ≤，0≤θ＜2π.