Question

已知1≤x²＋y²≤2．求证：≤x²＋y²－xy≤3

Answer 1

答案：
解析：

思路　　从已知条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r． 　　解答　　∵1≤x2＋y2≤2， 　　∴可设x＝rocsθ，y＝rsinθ，其中1≤r≤， 　　0≤θ≤2π． 　　∴x2－xy＋y2＝r2－r2sinθcosθ＝r2(1－sin2θ)． 　　∵≤1－sin2θ≤， 　　∴r2≤r2(1－sin2θ)≤r2． 　　而r2≥，r2≤3， 　　∴≤x2－xy＋y2≤3． 　　评析　　从上面的证明过程可以看出，不等式中的两个等号不能同时成立．