Question

已知1≤x²+y²≤2，则x²+xy+y²的取值范围

 

．

Answer 1

分析：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，则有1≤x²+y²≤2，可得a的范围，进而化简t=x²+xy+y²可得t=（1+

1

2

sin2θ）a²，
由三角函数的性质，可得1+

1

2

sin2θ的范围，计算可得答案．

解答：解：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，
则有1≤x²+y²≤2，可得1≤a≤

2

，
进而可得，t=x²+xy+y²=a²+a²sinθcosθ=（1+

1

2

sin2θ）a²，
由三角函数的性质，可得

1

2

≤（1+

1

2

sin2θ）≤

3

2

，
故

1

2

≤t≤3，
故答案为[

1

2

，3]．

点评：本题考查换元法在不等式中的应用，常见的换元方法有三角换元，要结合三角函数进行分析．