Question

已知椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的中心在原点，右顶点为A（2，0），其离心率与双曲线

y 2

3

-

x

2

=1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求

k

2

的值．

Answer 1

分析：（1）确定双曲线、椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）由（1）得过B点的直线为y=kx+1，联立直线y=kx+1与椭圆方程可求D的坐标，及k的取值范围，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1，解方程可求得结论．

解答：解：（1）双曲线

y 2

3

-

x

2

=1的离心率e=

2

3

，∴椭圆的离心率为

3

2

∵椭圆的长半轴长为a=2，

c

a

=

3

2

，∴c=

3

∴b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；…（5分）
（2）由椭圆，设直线方程为y=kx+1，联立

x2 4 +y2=1 y=kx+1

，可得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-

8k

1+4k2

，所以yD=

1-4k2

1+4k2

，…（8分）
依题意k≠0，k≠±

1

2

．
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
当y_D＞0时，y_D²-y_D+1=0，无解，…（11分）
当y_D＜0时，y_D²-y_D-1=0，解得yD=

1+ 5

2

或yD=

1+ 5

2

（舍去），…（10分）
所以

1-4k2

1+4k2

=

1+ 5

2

，解得k2=

2+ 5

4

…（12分）

点评：本题考查由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交位置关系，考查等比数列的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．