Question

3．已知函数$f（x）=|{\begin{array}{l}{2cos（{x+\frac{π}{3}-α}）}&{2sinα}\\{sin（{x+\frac{π}{3}-α}）}&{cosα}\end{array}}|$
（1）求f（x）的单调增区间．
（2）函数f（x）的图象F按向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{π}{3}$，-1）平移到F′，F′的解析式是y=f′（x）．求f′（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）由题意利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f′（x）=2cosx-1，再根据函数零点的定义和求法求得f′（x）的零点．

解答 解：（1）f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$-α）cosα-2sinαsin（x+$\frac{π}{3}$-α）=2cos（x+$\frac{π}{3}$），
令 $2kπ-π≤x+\frac{π}{3}≤2kπ$，求得2kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{3}$，
则f（x）的单调增区间$[{2kπ-\frac{4π}{3}，2kπ-\frac{π}{3}}]，k∈Z$．
（2）F′的解析式是y=f′（x）=2cosx-1，令2cosx-1=0，
求得f′（x）的零点为$x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．