Question

已知定义域为R的函数f（x）=

2x-1

a+2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性；并用定义证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由定义域为R的函数f（x）=

2x-1

a+2x+1

是奇函数．可得f（x）+f（-x）=0，即可解得a．
（2）由（1）可得：f（x）=

2x-1

2+2x+1

=

1

2

-

1

2x+1

．利用函数y=2^x在R上单调递增，可得函数y=

1

2x+1

在R上单调递减，可得函数y=-

1

2x+1

在R上单调递增，即可得出．

解答： 解：（1）定义域为R的函数f（x）=

2x-1

a+2x+1

是奇函数．
∴f（x）+f（-x）=

2x-1

a+2x+1

+

2-x-1

a+2-x+1

=0，解得a=2．
（2）由（1）可得：f（x）=

2x-1

2+2x+1

=

1

2

-

1

2x+1

．
∵函数y=2^x在R上单调递增，∴函数y=

1

2x+1

在R上单调递减，∴函数y=-

1

2x+1

在R上单调递增，
因此f（x）=

2x-1

2+2x+1

=

1

2

-

1

2x+1

在R上单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、指数函数的运算，考查了计算能力，属于基础题．