Question

数列{a_n}为等差数列，首项为3且a₁+a₂+a₃=15，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，b_n+1=2S_n+1，（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{b_n}的通项公式
（3）设c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列式求出公差，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由数列递推式求出数列{b_n}为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（3）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，然后由错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由

a1=3 3a1+3d=15

，得d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由b_n+1=2S_n+1，得
b_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得，b_n+1-b_n=2b_n，
b_n+1=3b_n（n≥2），
∵b₁=1，
∴b₂=2b₁+1=3，
∴数列{b_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列．
∴bn=3n-1；
（3）cn=anbn=(2n+1)•3n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=3×3⁰+5×3¹+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1  ①
3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)•3n-1+(2n+1)•3n  ②
①-②得-2Tn=3+2(31+32+…+3n-1)-(2n+1)•3n=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-(2n+1)•3n．
∴Tn=n•3n．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．