Question

17．已知P（x₀，y₀）是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1上的一点，F₁，F₂是C的两个焦点，若$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$≥0，则x₀的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]
• B． （-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）
• C． （-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]∪[$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得（-$\sqrt{3}$-x₀）（$\sqrt{3}$-x₀）+y₀²≥0，再由点P满足双曲线的方程，化简整理，再由双曲线的范围，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1的a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，
可得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀），
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$≥0，即为（-$\sqrt{3}$-x₀）（$\sqrt{3}$-x₀）+y₀²≥0，
即有x₀²+y₀²-3≥0，
又P（x₀，y₀）是双曲线上一点，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-y₀²=1，
即有y₀²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-1，
可得x₀²+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$≥4，即有|x₀|≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
由双曲线的性质可得|x₀|≥$\sqrt{2}$，
即有x₀≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，或x₀≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程、性质和运用，考查向量的数量积的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．