Question

2．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（$\frac{a}{2}$，0）到直线l的距离d≥$\frac{1}{5}$c，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{2}$，2]
• B． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，2]
• C． [$\frac{3}{2}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 求出直线l的方程，和点（$\frac{a}{2}$，0）到直线l的距离，列出不等式得出a，b，c的关系，消去b，得出e的范围．

解答 解：直线l的方程为bx+ay-ab=0．
∴点（$\frac{a}{2}$，0）到直线l的距离d=$\frac{\frac{1}{2}ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{2c}$≥$\frac{1}{5}c$．
∴5ab≥2c²，即25a²（c²-a²）≥4c⁴，
∴4c⁴+25a⁴-25a²c²≤0，
∵e=$\frac{c}{a}$，
∴4e⁴-25e²+25≤0，解得$\frac{5}{4}≤{e}^{2}≤5$．
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}≤e≤\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的性质，不等式的解法，属于中档题．