Question

10．已知f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）求证：对一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

Answer 1

分析 （　　）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），根据函数的单调性求出g（x）的最大值，根据f（x）的最小值，证明结论即可．

解答 解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1．…（1分）
当$x＞\frac{1}{e}$时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当$0＜x＜\frac{1}{e}$时，f'（x）＜0，f（x）为减函数
所以函数f（x）的最小值为$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．…（5分）
（Ⅱ）问题等价于证明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$…（6分）
由（I）可知，f（x）=xlnx的最小值为$-\frac{1}{e}$，当且仅当$x=\frac{1}{e}$时取到．…（8分）
令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），则${g^′}（x）=\frac{1-x}{e^x}$，…（9分）
易知$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{e}$，当且仅当x=1取到，所以$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$．
从而对一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．