Question

设有数列{a_n}，a₁=

5

6

，若以a₁，a₂，a₃，…，a_n中相邻两项为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0都有相同的根α、β，且满足3α-αβ+3β=1．
（1）求证：{a_n-

1

2

}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前5项和S₅．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由韦达定理得

αn+βn= an an-1 αnβn= 1 an-1

，代入3（α_n+β_n）-α_nβ_n=1，能证明数列{a_n-

1

2

}是等比数列．
（2）由a_n-

1

2

=（a₁-

1

2

）•（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ，能求出a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．
（3）利用分组求和法能求出数列{a_n}的前5项和S₅．

解答： （1）证明：∵二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0有实数根α_n、β_n，
∴

αn+βn= an an-1 αnβn= 1 an-1

，
代入3（α_n+β_n）-α_nβ_n=1，
得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，
∴

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1 3 an-1+ 1 3 - 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

（定值），
∴数列{a_n-

1

2

}是等比数列．
（2）解：a₁=

5

6

，a₁-

1

2

=

1

3

，又数列{a_n-

1

2

}是公比为

1

3

的等比数列，
∴a_n-

1

2

=（a₁-

1

2

）•（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．
（3）解：S₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅
=（

1

3

+

1

2

）+[（

1

3

）²+

1

2

]+[（

1

3

）³+

1

2

]+[（

1

3

）⁴+

1

2

]+[（

1

3

）⁵+

1

2

]
=

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+（

1

3

）⁵+

5

2

=

1 3 (1- 1 35 )

1- 1 3

+

5

2

=

35-1

2•35

+

5

2

=

1457

486

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．