Question

已知函数f（x）=x²+x-ln（x+a）+3b在x=0处取得极值0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=

5

2

x+m在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′(x)=2x+1-

1

x+a

，从而由题意得

f′(0)=0 f(0)=0

，从而解得；
（Ⅱ）由（1）知f（x）=x²+x-ln（x+1），故方程f(x)=

5

2

x+m可化为x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m=0，令φ(x)=x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m，从而求导φ′(x)=2x-

1

x+1

-

3

2

=

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

；从而根据单调性求解．

解答： 解：（Ⅰ）由题设可知f′(x)=2x+1-

1

x+a

，
∵当x=0时，f（x）取得极值0，
∴

f′(0)=0 f(0)=0

解得a=1，b=0；
经检验a=1，b=0符合题意；

（Ⅱ）由（1）知f（x）=x²+x-ln（x+1），
则方程f(x)=

5

2

x+m即为x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m=0，
令φ(x)=x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m，
则方程φ（x）=0在区间[0，2]恰有两个不同实数根．
∵φ′(x)=2x-

1

x+1

-

3

2

=

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在（1，2）上单调递增；
依题意有

φ(0)=-m≥0 φ(1)=- 1 2 -ln2-m＜0 φ(2)=1-ln3-m≥0

，
∴-

1

2

-ln2＜m≤1-ln3．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．