Question

2．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的两根．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理，同角三角的基本关系，求得tan（α+β）的值．
（2）利用同角三角的基本关系，两角和差的三角公式，求得cos（α-β）的值．

解答 解．①由根与系数的关系得：tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=6，∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=-1．
②由（1）得tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，∴α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）、β∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
∴α+β∈（$\frac{2π}{3}$，π ），∴α+β=$\frac{3π}{4}$，∴cos（α+β）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即cos（ α+β ）=cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
再根据tanα•tanβ=6，可得sinαsinβ=6cosαcosβ，求得cosαcosβ=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinαsinβ=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴$cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．

点评 本题主要考查韦达定理，同角三角的基本关系，两角和差的三角公式，属于中档题．