Question

5．已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由 a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），可得a_n-1²=S_n-1+S_n-2 （n≥3）．两式相减可得 a_n -a_n-1=1，再由a₁=1，可得{a_n}的通项公式．
（2）根据{a_n}的通项公式化简b_n和b_n+1，由题意可得b_n+1-b_n=2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立，而1-2n的最大值为-1，从而求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），∴a_n-1²=S_n-1+S_n-2 （n≥3）．
两式相减可得a_n² -a_n-1²=S_n-s_n-2=a_n +a_n-1，
∴a_n -a_n-1=1，
再由a₁=1，
∴正数数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴a_n=n．
（2）∵b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），
∴b_n+1=（1-a_n+1）²-a（1-a_n+1）．
即b_n=（1-n）²-a（1-n）=n²+（a-2）n+1-a，b_n+1=[1-（n+1）]²-a[1-（n+1）]=n²+an．
故b_n+1-b_n=2n+a-1，
再由b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立可得2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立．
而1-2n的最大值为1-2=-1，故a＞-1，
即实数a的取值范围（-1，+∞）．

点评 本题主要考查等差关系的确定，等差数列的通项公式，数列不等式的恒成立问题，属于中档题．