Question

9．在封闭的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA₁=3，则V的最大值是$\frac{9π}{2}$．

Answer 1

分析 要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁内切球半径即可．

解答 解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．
因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，
球的半径取得最大值为$\frac{3}{2}$，此时球的体积为$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9π}{2}$，
答案为：$\frac{9π}{2}$．

点评 本题考查了棱柱的内切球的体积，属于基础题．