题目内容

已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M（
6
，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
（1）由题意可知：双曲线C的焦点在x轴上，可设此双曲线C的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
则
b
a
=
3
3
6
a2
-
1
b2
=1
，解得
a2=3
b2=1
．
∴双曲线C的方程为
x2
3
-y2=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
y=kx+m
x2-3y2=3
，化为（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，（1-3k2≠0）
由题意△＞0，化为m2+1＞3k2．（*）
∴x1+x2=
6km
1-3k2
，x1x2=
-3m2-3
1-3k2
．
设线段AB的中点为M（x0，y0），则x0=
x1+x2
2
=
3km
1-3k2
，y0=kx0+m=
3k2m
1-3k2
+m=
m
1-3k2
．
∴M(
3km
1-3k2
，
m
1-3k2
).kMD=
m+1-3k2
3km
．
∵|AD|=|BD|，∴kAB•kMD=-1．
∴k•
m+1-3k2
3km
=-1，化为4m+1=3k2，代入（*）得m2+1＞4m+1，
解得m＞4或m＜0．
由3k2=4m+1≥0，解得m≥-
1
4

∴m的取值范围是[-
1
4
，0）∪（4，+∞）．
练习册系列答案
相关题目
点P到x轴的距离比它到点（0，1）的距离小1，称点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
如图，已知圆G：x2+y2-2x-
2
y=0，经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为
5π
6
的直线l交椭圆于C，D两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
如图，已知椭圆E1方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C．
（Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=
1
2
，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；
（Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当
k1
k2
=
b2
a2
时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
已知抛物线y=x2上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为______．
已知椭圆C与双曲线
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦点F1和F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为8
3
．若直线y=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点E、F，以线段EF为直径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x-
3
y+1=0截得的线段长．
已知F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，|
F1F2
|=2，离心率e=
1
2
，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l的倾斜角为
π
4
，求线段MN中点的坐标．
以椭圆
x2
16
+
y2
4
=1内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为______．

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