题目内容

如图，已知椭圆E1方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C．
（Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=
1
2
，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；
（Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当
k1
k2
=
b2
a2
时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B(-
a
2
，
a
2
)，
由点B在椭圆上，得
(-
a
2
)2
a2
+
(
a
2
)2
b2
=1，化为
b2
a2
=
1
3
，
∴e=
c
a
=
1-
b2
a2
=
6
3
．
（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，又|BA|+|BF2|=2a，
∴|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，
∴xB=-
a+c
2
，
又e=
c
a
=
1
2
，∴c=
1
2
a，b=
3
2
a，
∴xB=-
3
4
a，代入椭圆方程得yB=±
7
4
b=±
21
8
a，
∴k1=
yB
xB+a
=±
21
2
．
（III）直线BD过定点（a，0），证明如下：
设P（a，0），B（xB，yB），则
x2B
a2
+
y2B
b2
=1（a＞b＞0）．
则kAD•kPB=
a2
b2
k1kPB=
a2
b2
•
yB
xB+a
•
yB
xB-a
=
a2
b2
•
y2B
x2B
-a2
=
a2
b2
×(-
b2
a2
)=-1．
∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．
练习册系列答案
相关题目
设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则                       .
（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求x1x2与y1y2的值；
（2）求证：OA⊥OB．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
2
2
），且离心率为
2
2
，过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范围．
椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为
2
2
，则
m
n
的值为（　　）
A．
2
2
B．
2
2
3
C．
9
2
2
D．
2
3
27
已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M（
6
，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x，且过点D(
2
，
3
)．l1，l2是过点P(-
2
，0)的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2．
（1）求双曲线的方程；
（2）求l1斜率的范围
（3）若|A1B1|=
5
|A2B2|，求l1的方程．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c；若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上任一点P（x0，y0）作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c）．
（Ⅰ）证明：|PF2|的最小值为a-c；
（Ⅱ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点，若OA⊥OB，求椭圆的方程．
如图，直线y=kx+b与椭圆
x2
4
+y2=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．

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