题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
（1）由题意得2c=2，∴c=1，又
2
a2
+
3
2b2
=1，a2=b2+1．
消去a可得，2b4-5b2-3=0，解得b2=3或b2=-
1
2
（舍去），则a2=4，
∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则k1=
y0
2
，k2=
y1
x1-2
，
∵A，P，M三点共线，∴y0=
4y1
x1+2
，∴k1k2=
y0y1
2(x1-2)
=
4y12
2(
x21
-4)
，
∵P（x1，y1）在椭圆上，∴
y21
=
3
4
(4-
x21
)，故k1k2=
4y12
2(
x21
-4)
=-
3
2
为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为k2=
y1
x1-2
，直线m的斜率为km=
2-x1
y1
，
则直线m的方程为y-y0=
2-x1
y1
(x-2)，y=
2-x1
y1
(x-2)+y0=
2-x1
y1
x-
2(2-x1)
y1
+
4y1
x1+2
=
2-x1
y1
x+
2(x12-4)+4
y21
(x1+2)y1
=
2-x1
y1
x+
2(x12-4)+12-3
x21
(x1+2)y1
=
2-x1
y1
x+
2-x1
y1
=
2-x1
y1
(x+1)，
即y=
2-x1
y1
(x+1)．
所以直线m过定点（-1，0）．
练习册系列答案
相关题目
（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点O，短轴长为，其焦点F（c，0）（c＞0）对应的准线l与x轴交于A点，|OF|=2|FA|，过A的直线与椭圆交于P、Q两点.
（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线PQ的方程； （3）设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M. 求证F、M、Q三点共线.
已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使
PQ
=λ
AB
，请给出证明．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点A（2，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：x-1-y=0与椭圆C交于不同的两点M，N，求|MN|的值．
（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求x1x2与y1y2的值；
（2）求证：OA⊥OB．
过椭圆左焦点F，倾斜角为
π
3
的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为______．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
2
2
），且离心率为
2
2
，过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范围．
已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M（
6
，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
已知平面内一点P与两个定点F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．

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