题目内容

已知椭圆C与双曲线
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦点F1和F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为8
3
．若直线y=t（t＞0）与椭圆C交于不同的两点E、F，以线段EF为直径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与x轴相切，求圆M被直线x-
3
y+1=0截得的线段长．
（1）由题意可设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），半焦距为c．
∵椭圆C与双曲线
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦点，∴c=
2+6
=2
2
．
∵△ABF2的周长为8
3
，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=8
3
，∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8
3
，
由椭圆的定义可得4a=8
3
，解得a=2
3
，
∴b2=a2-c2=4．
∴椭圆C的方程为
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）联立
y=t
x2
12
+
y2
4
=1
，解得
x=±
12-3t2
y=t
，
不妨设E(-
12-3t2
，t)，F(
12-3t2
，t)，
∵以线段EF为直径所作的圆M与x轴相切，∴r=t=
12-3t2
，解得t=
3
．
∴圆心为（0，
3
）．
∴圆M的方程为x2+(y-
3
)2=3．
圆心（0，
3
）到直线x-
3
y+1=0的距离d=
|0-3+1|
1+(
3
)2
=1．
∴圆M被直线x-
3
y+1=0截得的线段长=2
r2-d2
=2
3-1
=2
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且
AC
•
BC
=0，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使
PQ
=λ
AB
，请给出证明．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
2
2
），且离心率为
2
2
，过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范围．
已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M（
6
，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x，且过点D(
2
，
3
)．l1，l2是过点P(-
2
，0)的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2．
（1）求双曲线的方程；
（2）求l1斜率的范围
（3）若|A1B1|=
5
|A2B2|，求l1的方程．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为
2
2
，以线段F1F2为直径的圆的面积为π，设直线l过椭圆的右焦点F2（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围；
（3）求△ABF1面积的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c；若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上任一点P（x0，y0）作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c）．
（Ⅰ）证明：|PF2|的最小值为a-c；
（Ⅱ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅲ）若椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点，若OA⊥OB，求椭圆的方程．
已知平面内一点P与两个定点F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．
如图，F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦点，P为椭圆上的点，PF1⊥OX轴，且OP和椭圆的一条长轴顶点A和短轴顶点B的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率e
（2）若Q是椭圆上任意一点，证明∠F1QF2≤
π
2

（3）过F1与OP垂直的直线交椭圆于M，N，若△MF2N的面积为20
3
，求椭圆方程．

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