题目内容

已知抛物线y=x2上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为______．
设直线AB的方程为y=kx+b，联立
y=kx+b
y=x2
，化为x2-kx-b=0，
由题意可得△=k2+4b＞0．
∴x1+x2=k，x1x2=-b．
∵|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)(k2+4b)
=2，
∴b=
4-k2-k4
4(1+k2)
．
AB中点M到x轴的距离=
y1+y2
2
=
x21
+
x22
2
=
(x1+x2)2-2x1x2
2

=
k2+2b
2
=
k2+
4-k2-k4
2(1+k2)
2

=
1
4
(k2+1+
4
1+k2
-1)≥
1
4
(2
(k2+1)•
4
k2+1
-1)=
3
4
．
当且仅当k=±1是取等号．
因此AB中点M到x轴的最短距离为
3
4
．
故答案为
3
4
．
练习册系列答案
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如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角（图中的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
过椭圆左焦点F，倾斜角为
π
3
的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为______．
如图所示的曲线C是由部分抛物线C1：y=x2-1（|x|≥1）和曲线C2：x2+
y2
m
=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直线l与曲线C1相切于点M，与曲线C2相切于点N，记点M的横坐标为t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）当t=
2
时，求m的值和点N的坐标；
（2）当实数m取何值时，∠MAB=∠NAB？并求出此时直线l的方程．
已知双曲线C的渐近线为y=±
3
3
x且过点M（
6
，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m，（m≠0）与双曲线C相交于A，B两点，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
已知点B（0，1），A，C为椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．
（1）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？
（2）当a=2时，求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为
2
2
，以线段F1F2为直径的圆的面积为π，设直线l过椭圆的右焦点F2（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围；
（3）求△ABF1面积的取值范围．
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
2
，0)，(
2
，0)，离心率是
6
3
，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．

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