Question

设f₁（x）=2x-1，f₂（x）=x²，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f₂（n），数列{b_n}中，b₁=2，b_n=f₁（b_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n-1}是等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据函数表达式，结合数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n的表达式，利用构造法即可证明数列{b_n-1}是等比数列．

解答： （1）解：∵f₂（x）=x²，
∴S_n=f₂（n）=n²，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1，满足a_n=2n-1，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1；
（2）证明：∵f₁（x）=2x-1，b₁=2，b_n=f₁（b_n-1），
∴b_n=f₁（b_n-1）=2b_n-1-1．
即b₁-1=2（b_n-1-1）．
故数列{b_n-1}是一2为公比的等比数列．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解以及等比数列的判断，利用构造法是解决本题的关键．