题目内容
3．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ（1）若l的参数方程中的t=$\sqrt{2}$时，得到M点，求M的极坐标和曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P（1，1），l和曲线C交于A，B两点，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$．
分析 （1）t=$\sqrt{2}$代入直线l的参数方程求出M（0，2），从而求出点M的极坐标，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得${t}^{2}+3\sqrt{2}t-4=0$，由此利用韦达定理能求出$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．
解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
l的参数方程中的t=$\sqrt{2}$时，得到M点，
∴点M的直角坐标为M（0，2），
∴$ρ=\sqrt{0+4}=2$，$θ=\frac{π}{2}$，∴点M的极坐标为M（2，$\frac{π}{2}$），
∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2-6x+y2=0．
（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得：
${t}^{2}+3\sqrt{2}t-4=0$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-3\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-4＜0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$
=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{34}}{4}$．
点评 本题考查点的极坐标和曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．
| A． | （$\frac{π}{3}$，0） | B． | （ $\frac{π}{4}$，0） | C． | （-$\frac{π}{12}$，0） | D． | （$\frac{π}{2}$，0） |
如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）| A． | $\sqrt{6}π$ | B． | 6π | C． | $4\sqrt{3}π$ | D． | 12π |
已知图中∠AOC+2∠BOC=π，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，BC∥OA，P为图中的阴影中（含边界）任意点，并且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OC}$，下列正确的是①③⑤| A． | （0，2） | B． | （-2，0） | C． | {1，2} | D． | {1} |
如图，已知三棱锥A-OCB中，AO⊥底面BOC，且∠BAO=∠CAO=$\frac{π}{6}$，AB=4，点D为线段AB的中点，记二面角B-AO-C的大小为θ．