Question

2．如图，已知三棱锥A-OCB中，AO⊥底面BOC，且∠BAO=∠CAO=$\frac{π}{6}$，AB=4，点D为线段AB的中点，记二面角B-AO-C的大小为θ．
（1）求三棱锥A-OCB体积V的最大值；
（2）当$θ=\frac{2π}{3}$时，求二面角C-OD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由条件，∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，即为θ，从而求出V=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由此求出当$θ=\frac{π}{2}$时，V取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角C-OD-B的余弦值．

解答 解：（1）由条件，∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，即为θ，
V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BO×OC×sinθ×AO$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sinθ≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴当$θ=\frac{π}{2}$时，V取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在直线为y轴，z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，0，2$\sqrt{3}$），B（0，2，0），D（0，1，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，-1，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面COD的法向量，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
平面AOB的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角C-OD-B的平面角为θ，由图形知θ是钝角，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角C-OD-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查三棱锥子的体积的最大值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．