Question

14．函数y=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax+a有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 作函数g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²与y=ax+a的图象，从而设直线y=ax+a与函数g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²相切于点（x₁，y₁），从而可得x₁=0或x₁=$\sqrt{3}$或x₁=-$\sqrt{3}$；从而结合图象解得．

解答 解：作函数g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²与y=ax+a的图象如下，

设直线y=ax+a与函数g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²相切于点（x₁，y₁），
则$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+1}$=-${{x}_{1}}^{2}$+2x₁，且y₁=-$\frac{1}{3}$x₁³+x₁²，
解得，x₁=0或x₁=$\sqrt{3}$或x₁=-$\sqrt{3}$；
故-${{x}_{1}}^{2}$+2x₁=0或2$\sqrt{3}$-3或-2$\sqrt{3}$-3；
结合图象可知，
a＜-2$\sqrt{3}$-3或0＜a＜2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．