Question

4．函数f（x）=x³+3x²+3ax-4既有极大值又有极小值，则函数g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2a在区间（1，+∞）上一定（　　）

• A． 有最小值
• B． 有最大值
• C． 是减函数
• D． 是增函数

Answer 1

分析 根据题意，求出函数f（x）的导数f′（x），利用△＞0求出a的取值范围，再求出函数g（x）的导数g′（x），利用导数判断函数的单调性即可．

解答 解：∵函数f（x）=x³+3x²+3ax-4既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=3x²-6x+3a=0时，有两个不等的实数根，
∴36-4×3×3a＞0，
解得a＜1；
又函数g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2a，
∴g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
当x∈（1，+∞）时，$\frac{a}{{x}^{2}}$＜1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性与极值的应用问题，也考查了判别式的应用问题，是中档题目．