Question

3．已知函数f（x）=sin²（ωx+$\frac{π}{12}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．求：
（1）ω；
（2）函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{12}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得ω的值．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{12}$]上的最大值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=sin²（ωx+$\frac{π}{12}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1-cos（2ωx+\frac{π}{6}）}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$-sin（2ωx+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$-sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
可得 $\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=1．
（2）在区间[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{12}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，故当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．