题目内容

1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t}\\{y=-1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t}\end{array}}\right.$（t为参数）与曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=cos2θ}\end{array}}\right.$（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．

分析 直线$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t}\\{y=-1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=cos2θ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用倍角公式可得y=1-2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：直线$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t}\\{y=-1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t}\end{array}}\right.$（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．
由曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=cos2θ}\end{array}}\right.$（θ为参数），可得y=1-2sin2θ=1-2x2（-1≤x≤1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{y=1-2{x}^{2}}\end{array}\right.$（-1≤x≤1），解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
．∴A（-1，-1），B（0，1），
∴|AB|=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
10．已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）当a=1时，g（x）=x2-2x+b，当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）与g（x）有两个交点，求实数b的取值范围；
（3）证明：$\frac{2}{1^2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{3^2}+\frac{5}{4^2}+…+\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（?n∈N*）．
9．已知曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{y=sinθ}\\{x=2cosθ}\end{array}\right.$（其中参数θ∈[0，π]），直线l：y=x+b．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程并指出它的轨迹；
（Ⅱ）若曲线C与直线l只有一个公共点，求b的取值范围．
16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PA=PB，求二面角A-PC-D的余弦值．
6．已知函数f（x）=2lnx-x2+a在[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$）．
13．在平面直角坐标系中，过点P（3，1）的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）若直线l与曲线C1有且仅有一个公共点，求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C1交于不同两点C、D，与C2交于不同两点A、B，这四点从左至右依次为B、D、C、A，求|AC|-|BD|的取值范围．
10．已知实数x，y，满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$，则z=-$\sqrt{2}$x+y的最大值是（　　）
A．2-$\sqrt{2}$B．1C．2$\sqrt{2}$D．1+$\sqrt{2}$
11．若函数f（x）=loga2-1（2x+1）在（-$\frac{1}{2}$，0）上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是（$-\sqrt{2}$，-1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

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