Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数），将曲线C₁上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C₂的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）设P$（\sqrt{3}cosα，2sinα）$，点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα-2sinα-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（α+\frac{π}{6}）-6|}{\sqrt{5}}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．可得：直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0．
由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数），将曲线C₁上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，
纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C₂的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）设P$（\sqrt{3}cosα，2sinα）$，点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα-2sinα-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（α+\frac{π}{6}）-6|}{\sqrt{5}}$．
∴当$cos（α+\frac{π}{6}）$=-1时，d取得最大值$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，此时P$（-\frac{3}{2}，1）$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．