Question

已知直线l：mx+y-2（m+1）=0与曲线C：y=

1-x2

．
（Ⅰ）若直线l与直线l₁：2x-y+1=0垂直，求实数m的值；
（Ⅱ）若直线l与曲线C有且仅有两个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）利用两条直线垂直，斜率之积等于-1，计算即可；
（Ⅱ）当直线经过点（-1，0）时，直线与曲线有两个公共点，．当直线与曲线相切时，直线与曲线有公共点，利用点的直线距离公式和切线的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线l的斜率k₁=-m，
直线l₁的斜率k₂=2，且k₁•k₂=-1
∴m=

1

2

（Ⅱ）∵方程y=

1-x2

可化为x²+y²=1（y≥0）
∴曲线C是単位圆的上半圆．
又∵方程mx+y-2（m+1）=0可化为y-2=-m（x-2）
∴直线l恒过定点（2，2）．
当直线l与曲线C相切时，
由圆心到直线的距离等于半径可知

|2m+2|

1+m2

=1⇒3m2+8m+3=0⇒m=

-4± 7

3

经检验知m=

-4+ 7

3

，
当直线经过点（-1，0），直线与曲线C有两个交点，
代入直线方程可得，m=-

2

3

∴m∈[-

2

3

，

-4+ 7

3

)

点评：本题考查了直线与直线垂直的性质，直线与圆的位置关系、相切的性质、数形结合等基础知识与基本技能．