Question

设向量

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），θ为锐角．
（1）若

a

•

b

=

5

2

，求sinθ+cosθ的值；
（2）若

a

∥

b

，求

1+cos2θ

sin2θ

的值．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）根据平面向量的数量积运算，结合同角的三角函数关系，求出sinθ+cosθ的值；
（2）由向量平行，求出tanθ的值，再把正弦、余弦化为正切，求出

1+cos2θ

sin2θ

的值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），
∴

a

•

b

=2+sinθcosθ；
又∵

a

•

b

=

5

2

，
∴2+sinθcosθ=

5

2

，
∴sinθcosθ=

1

2

；…（2分）
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=2；
又∵θ为锐角，∴sinθ+cosθ=

2

；…（7分）
（2）∵

a

∥

b

，
∴2•cosθ-1•sinθ=0，
∴tanθ=2；…（10分）
∴

1+cos2θ

sin2θ

=

sin2θ+2cos2θ

sin2θ

=

tan2θ+2

tan2θ

=1+

2

tan2θ

=1+

2

4

=

3

2

，…（15分）

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的求值运算问题，是基础题目．