Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，-sinβ）．
（1）若α=

π

2

，β=-

π

6

，求向量

a

与

b

的夹角；
（2）若

a

•

b

=

2

2

，tanα=

1

7

，且α，β为锐角，求tanβ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）化简向量a，b，再由向量的夹角公式，计算即可得到；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的余弦公式，同角的平方关系和商数关系，再由tanβ=tan[（α+β）-α]，运用两角差的正切公式，计算即可得到．

解答： 解：（1）若α=

π

2

，β=-

π

6

，
则

a

=（0，1），

b

=（

3

2

，

1

2

），
cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1 2

1×1

=

1

2

，
由0≤＜

a

，

b

＞≤π，则有向量

a

与

b

的夹角

π

3

；
（2）若

a

•

b

=

2

2

，
则cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

，
即有cos（α+β）=

2

2

．
由于α，β为锐角，即0＜α+β＜π，
则sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

1- 1 2

=

2

2

，
即有tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=1，
由tanα=

1

7

，则tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

1- 1 7

1+ 1 7

=

3

4

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和夹角公式，考查两角和的余弦公式，两角差的正切公式，考查角的变换方法，考查运算能力，属于中档题．