题目内容

若对于一切正整数n，不等式（1+
1
2
）（1+
1
4
）（1+
1
6
）…（1+
1
2n
）≤a
2n+1
恒成立，求实数a的取值范围．
考点：反证法与放缩法
专题：综合题,不等式的解法及应用
分析：令f（n）=
(1+
1
2
)(1+
1
4
)…(1+
1
2n
)
2n+1
，证明f（n+1）＜f（n），可得f（n）max=f（1），即可求实数a的取值范围．
解答： 解：令f（n）=
(1+
1
2
)(1+
1
4
)…(1+
1
2n
)
2n+1
，
则f（n+1）=
(1+
1
2
)(1+
1
4
)…(1+
1
2n+2
)
2n+3
，
∴
f(n+1)
f(n)
=
(2n+1)(2n+3)
2n+2
＜1，
∴f（n+1）＜f（n），
∴f（n）max=f（1）=
3
2
，
∴a≥
3
2
．
点评：本题考查恒成立问题，考查函数的单调性，考查函数的最值，构造f（n）=
(1+
1
2
)(1+
1
4
)…(1+
1
2n
)
2n+1
，证明f（n+1）＜f（n）是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
a|x|
ex-1
（a为常数）．
（1）当a＞0时，求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=x3-ax2+2，若x∈[-1，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．
设f(x)=
1
2
x2+ax+
e3
ex
．
（1）若x∈(
3
2
，+∞)时，f（x）单调递增，求a的取值范围；
（2）讨论方程f（x）+|lnx|-ax-b=0的实数根的个数．
已知函数f(x)=
1+1nx
x
．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若对所有x≥1都有f(x)≥
k
x+1
，求实数k的取值范围．
袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数ξ的概率分布列．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知bcosA-2ccosB=2bcosC-acosB．
（1）求
sinC
sinA
的值；
（2）若cosB=
1
4
，b=2，△ABC的面积S．
已知命题p：1-a•2x≥0在x∈（-∞，0]恒成立，命题q：?x∈R，ax2-x+a＞0．若命题p或q为真，命题p且q为假，求实数a的范围．
（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l的参数方程为
x=2t
y=1+2t
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．设直线l与曲线C交于A，B两点，则
OA
•
OB
=
 
．
已知集合A={1，2，3，…，100}，B⊆A，且B中任何两个元素之比都不是2或
1
2
，则集合B的元素个数最多是
 
个．

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