Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l的参数方程为

x=2t y=1+2t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ．设直线l与曲线C交于A，B两点，则

OA

•

OB

=

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由直线l的参数方程为

x=2t y=1+2t

（t为参数），消去参数t可得：y=x+1．由曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ可得x²=y．设直线l与曲线C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．联立可化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，利用数量积可得

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂．

解答： 解：由直线l的参数方程为

x=2t y=1+2t

（t为参数），消去参数t可得：y=x+1．
由曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ化为（ρcosθ）²=ρsinθ可得x²=y．
设直线l与曲线C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
联立

y=x+1 y=x2

化为x²-x-1=0，
可得x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．
∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-1+1+1=1．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-1+1=0．
故答案为：0．

点评：本题考查了把参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程、联立可化为关于x的一元二次方程得到根与系数的关系、数量积的坐标运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．