Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，在区间（-1，0）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[6，+∞）
• B、[4，+∞）
• C、[-

  1

  8

  ，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，可知函数图象上在区间（0，1）内任意两点连线的斜率大于1，
转化为函数的导数大于1在（0，1）内恒成立，把原函数求导后分离参数a，然后利用二次函数的单调性求
y=2x²+3x+1在[0，1]上的最大值，则答案可求．

解答： 解：

f(p+1)-f(q+1)

p-q

表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（-1，0）内，故p+1 和q+1在区间（0，1）内．
∵不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（0，1）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（0，1）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x＞1在（0，1）内恒成立．
即a＞2x²+3x+1在（0，1）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在（0，1）上是单调增函数，
故x=2时，y=2x²+3x+1在[0，1]上取最大值为6，
∴a≥6．
∴实数a的取值范围为[6，+∞）．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点出的切线方程，考查了数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．