Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+6a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=3a₁，则

1

m

+

4

n

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用分别求出当n=1，2，3时

1

m

+

4

n

的值，再比较大小即可得到最小值．

解答： 解：∵a₇=a₆+6a₅，
∴a₅q²=a₅q+6a₅，
∴q²-q-6=0，
∴q=3，q=-2（舍去），
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=3a₁，
∴a_ma_n=9a₁²，
∴3^m+n-2=9，
∴m+n=4，
∴

1

m

+

4

n

=

1

4-n

+

4

n

=f（n）
令n=1，f（1）=

1

3

+4=

13

3

；
令n=2，f（2）=

5

2

；
令n=3，f（3）=

7

3

；
经过比较可得最小值为

7

3

．
故答案为：

7

3

点评：本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．