题目内容
14．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=-1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：$ρ=\frac{2\sqrt{2}m}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$（m为常数）．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，当|AB|=4时，求实数m的值．
分析 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）由题意，圆心到直线的距离d=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，即可求实数m的值．
解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosθ}\\{y=-1+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），普通方程为（x-1）2+（y+1）2=16，
直线l：$ρ=\frac{2\sqrt{2}m}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$，即ρsinθ+ρcosθ=4m，直角坐标方程为x+y-4m=0；
（2）由题意，圆心到直线的距离d=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|-4m|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{3}$，∴m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
点评 本题考查三种方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．
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4．已知f（x）为定义在$（0，\frac{π}{2}）$上的函数，f'（x）是它的导函数，且$\frac{f'（x）}{tanx}＜f（x）$恒成立，则（ ）
| A． | $f（\frac{π}{3}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$ | B． | $f（\frac{π}{6}）＜\sqrt{2}f（\frac{π}{4}）$ | C． | $f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{4}）$ | D． | $f（\frac{π}{4}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）$ |
5．若对于任意实数m∈[0，1]，总存在唯一实数x∈[-1，1]，使得m+x2ex-a=0成立，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | [1，e] | B． | $（{1+\frac{1}{e}，e}]$ | C． | （0，e] | D． | $[{1+\frac{1}{e}，e}]$ |
6．
中国古代数学家名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，若这个刍甍的体积为$\frac{40}{3}$，则异面直线AB与CF所成角的余弦值为（ ）
中国古代数学家名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，若这个刍甍的体积为$\frac{40}{3}$，则异面直线AB与CF所成角的余弦值为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}}{3}$ | D． | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ |
3．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取到红球的概率是$\frac{2}{5}$，则取得白球的概率等于（ ）
| A． | $\frac{1}{5}$ | B． | $\frac{2}{5}$ | C． | $\frac{3}{5}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |