题目内容
已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn=an2+2an-3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn=2n-an，求bn的前n项和Tn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn=2n-an，求bn的前n项和Tn．
考点：数列递推式,数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由于4Sn=an2+2an-3，可得当n=1时，4a1=
+2a1-3，解得a1．当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=an2+2an-3-(
+2an-1-3)，可得an-an-1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn=2n-an=2n-（2n+1），再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
| a | 2 1 |
| a | 2 n-1 |
（2）bn=2n-an=2n-（2n+1），再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：
解：（1）∵4Sn=an2+2an-3，
∴当n=1时，4a1=
+2a1-3，解得a1=3或-1，其中a1=-1舍去．
当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=an2+2an-3-(
+2an-1-3)，化为（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵?n∈N*，an＞0，∴an-an-1-2=0，即an-an-1=2．
∴数列{an}是等差数列，其通项公式an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）bn=2n-an=2n-（2n+1），
bn的前n项和Tn=
-
=2n+1-2-n2-2n．
∴当n=1时，4a1=
| a | 2 1 |
当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=an2+2an-3-(
| a | 2 n-1 |
∵?n∈N*，an＞0，∴an-an-1-2=0，即an-an-1=2．
∴数列{an}是等差数列，其通项公式an=3+2（n-1）=2n+1．
（2）bn=2n-an=2n-（2n+1），
bn的前n项和Tn=
| 2(2n-1) |
| 2-1 |
| n(3+2n+1) |
| 2 |
=2n+1-2-n2-2n．
点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1，n∈N），则数列{an}的通项公式是（ ）
| A、an=2n |
| B、an=2n-1 |
| C、an=3n-1 |
| D、an=3n |