Question

已知f（x）定义在区间（0，+∞）上的减函数，且满足f（x•y）=f（x）+f（y），并且f(

1

3

)=1
（1）求f（1）
（2）求f(

1

9

)
（3）若f（x）+f（1-2x）＜2，求x的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）（2）分别利用赋值法求f（1），f（

1

9

）的值；
（3）利用函数的单调性将f（x）+f（1-2x）＜2，进行转化然后解不等式即可求x的取值范围．

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
再令x=y=

1

3

，则f（

1

9

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=1+1=2，
（2）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x）+f（1-2x）=f[x（1-2x）]，
∵f（x）+f（1-2x）＜2，
∴f[x（1-2x）]＜f（

1

9

）
∵f（x）为（0，+∞）上的减函数，
∴

x＞0 1-2x＞0 x(1-2x)＞ 1 9

，
解得

1

6

＜x＜

1

3

∴x的取值范围为（

1

6

，

1

3

）

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．