Question

4．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，二面角A₁-AC-B是直二面角，∠ABC=90°，BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A1C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；
（2）求四棱锥C-AA₁B₁B的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，取AC的中点O，连接A₁O，B₁C．AA₁=A₁C，可得A₁O⊥AC．根据二面角A₁-AC-B是直二面角，
可得平面AA₁C₁C⊥平面ABC．于是A₁O⊥平面ABC．可得∠A₁AO为侧棱A₁A与底面ABC所成角．根据等腰直角三角形的性质即可得出：侧棱A₁A与底面ABC所成角．
（2）△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，可得AB=2$\sqrt{2}$．S_△ABC=$\frac{1}{2}AB×BC$．四棱锥C-AA₁B₁B的体积=${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}$-${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{2}{3}{S}_{△ABC}×{A}_{1}O$，即可得出．

解答 解：（1）如图所示，取AC的中点O，连接A₁O，B₁C．
∵AA₁=A₁C，∴A₁O⊥AC．
∵二面角A₁-AC-B是直二面角，
∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC．平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC．
∴A₁O⊥平面ABC．
∴∠A₁AO为侧棱A₁A与底面ABC所成角．
∵AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
∴∠A₁AC=45°，A₁O=AO=$\sqrt{3}$．
即侧棱A₁A与底面ABC所成角为45^°．
（2）△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB×BC$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$．
∴四棱锥C-AA₁B₁B的体积=${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}$-${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{2}{3}{S}_{△ABC}×{A}_{1}O$
=$\frac{2}{3}×2\sqrt{2}×$$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．