题目内容
已知实数x、y满足4x2+y2-xy=1，且不等式2x+y+c＞0恒成立，则c的取值范围是 ．
考点：一元二次不等式的解法
专题：综合题,不等式的解法及应用
分析：由4x2+y2-xy=1，得出2x+y=±
，再根据不等式2x+y+c＞0恒成立，得出c＞-（2x+y）=
；
利用基本不等式4x2+y2≥2•2x•y，求出xy≤
，代入上式，求出c的取值范围．
| 1+5xy |
| 1+5xy |
利用基本不等式4x2+y2≥2•2x•y，求出xy≤
| 1 |
| 3 |
解答：
解：∵4x2+y2-xy=1，
∴（2x+y）2=1+5xy，
∴2x+y=±
；
又∵不等式2x+y+c＞0恒成立，
∴2x+y＞-c；
令-
＞-c，
得c＞
；
又∵4x2+y2≥2•2x•y=4xy，当且仅当2x=y时“=”成立，
∴4xy-xy≤1，
即xy≤
；
∴c＞
≥
=
；
∴c的取值范围是（
，+∞）．
故答案为：（
，+∞）．
∴（2x+y）2=1+5xy，
∴2x+y=±
| 1+5xy |
又∵不等式2x+y+c＞0恒成立，
∴2x+y＞-c；
令-
| 1+5xy |
得c＞
| 1+5xy |
又∵4x2+y2≥2•2x•y=4xy，当且仅当2x=y时“=”成立，
∴4xy-xy≤1，
即xy≤
| 1 |
| 3 |
∴c＞
| 1+5xy |
1+5×
|
2
| ||
| 3 |
∴c的取值范围是（
2
| ||
| 3 |
故答案为：（
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．
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