Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为8，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F₁的直线l交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=4，结合离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$可求c，再由隐含条件求得b，可得椭圆的方程；
（2）求出椭圆的左焦点，设直线l：x=my-2$\sqrt{2}$，点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，利用点P（x₁+x₂，y₁+y₂）在椭圆上，求出m，可得直线l的方程．

解答 解：（1）由题意知2a=8，a=4，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$c=2\sqrt{2}$，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由（1）可求得椭圆的左焦点为F1（-2$\sqrt{2}$，0），
易知直线l的斜率不为0，故可设直线l：x=my-2$\sqrt{2}$，点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∵四边形MONP为平行四边形，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
则P（x₁+x₂，y₁+y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得$（{m}^{2}+2）{y}^{2}-4\sqrt{2}my-8=0$，
△=64（m²+1）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{8}{{m}^{2}+2}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=m（{y}_{1}+{y}_{2}）-4\sqrt{2}$=$\frac{-8\sqrt{2}}{{m}^{2}+2}$，
∵点P（x₁+x₂，y₁+y₂）在椭圆上，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{16}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}=1$，即$\frac{（\frac{-8\sqrt{2}}{{m}^{2}+2}）^{2}}{16}+\frac{（\frac{4\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}}{8}=1$，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
∴直线l的方程为x=±$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，设而不求是简化解题过程的关键，是中档题．